Question

【题目】设为奇函数，且实数。

(1)求的值；

(2)判断函数在的单调性，并写出证明过程；

(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】(1) (2) 函数在上单调递增(3)

【解析】试题分析：（1）由为奇函数，满足f（﹣x）+f（x）=0，代入可得a的值；

（2）对任意的， ，且，，结合对数运算性质，判断f（x1）﹣f（x2）的符号，进而可得函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；

（3）若对于区间上的每一个x值，不等式恒成立， ，分析的单调性并求出最值，可得实数m取值范围．

试题解析：

(1) 由，得，有或，根据奇函数的定义域关于原点对称，有，解得。

(2)函数在上单调递增。证明如下：

对任意的， ，且，由

，

……（*），

由，所以有

，有，又因为，有（*）式

为负，因此，即， ，

所以，函数在上单调递增。

(3)当时，由不等式恒成立，有，

由(2)知在上单调递增，又因为在上单调递增，就有

在上单调递增，当时， 在上单调递增。要使恒成立，只需，解得，