Question

过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点,设切线、的斜率分别为和．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标；

 

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（0，2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，则该切线的方程为，将直线方程代入抛物线的方程化简得，由得，而都是方程的解，故；（Ⅱ）法1：设，由导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简变形得切线方程为，切线方程为，又由于点在AP、AQ上，所以，，则直线的方程是，则直线过定点.；法2：由（1）知P、Q的横坐标是方程的根，可设，由两点坐标求得PQ的方程并化简为即，由（1）知，所以直线的方程是，则直线过定点.

试题解析：（Ⅰ）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，

则该切线的方程为：，由得

，

则都是方程的解，故。

（Ⅱ）法1：设，

故切线的斜率是，方程是又，

所以方程可化为，

切线的斜率是，方程是又，

所以方程可化为，

又由于点在AP上，则，

又由于点在AQ上，则 ，

，

则直线的方程是，则直线过定点.

法2：设， 所以,

直线：，

即，由（1）知，

所以，直线的方程是，则直线过定点.

考点：1.导数的几何意义；2.切线方程及其应用；3.直线与抛物线的位置关系