题目内容
【题目】对于数列{an}、{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，a1=b1=1，bn+1=3bn+2，n∈N* ．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn= 
，求数列{cn}的前n项和Tn ．
【答案】
（1）解：由Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，
∴Sn+1﹣Sn=an+2n+1，
∴an+1﹣an=2n+1，
∴a2﹣a1=2×1+1，
a3﹣a2=2×2+1，
a4﹣a3=2×3+1，
…
an﹣an﹣1=2（n﹣1）+1，
以上各式相加可得：an﹣a1=2×（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1），
∴an=2× 
+（n﹣1）+1=n2，
∴an=n2，
∵bn+1=3bn+2，即bn+1+1=3（bn+1），
b1+1=2，
∴数列{bn+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，
bn+1=2×3n﹣1，
∴bn=2×3n﹣1﹣1；
（2）解：由（1）可知：cn= 
= 
= 
，
∴Tn=c1+c2+…+cn= 
+ 
+ 
+…+ ，
Tn= 
+ 
+ 
+…+ 
，
∴ Tn=2+ + 
+ 
+…+ 
﹣ ，
=2+ 
﹣ ，
= 
﹣ 
，
∴Tn= 
﹣ 
，
数列{cn}的前n项和Tn，Tn= ﹣
【解析】（1）由Sn+1﹣Sn=an+2n+1，则an+1﹣an=2n+1，利用“累加法”即可求得an=n2 ， 由bn+1+1=3（bn+1），可知数列{bn+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，即可求得{bn}的通项公式；（2）由（1）可知：cn= = = ，利用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Tn ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．
