Question

16．设函数y=log₂（ax²-2x+2）定义域为A、值域为B．
（1）若A=R，求实数a的取值范围：
（2）若B=R，求实数a的取值范围；
（3）若log₂（ax²-2x+2）＞2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得ax²-2x+2＞0对于任意的实数都成立，验证a=0是否成立，a≠0时根据二次函数的图象找出等价条件，求出a的范围
（2）函数y=ax²-2x+2的图象不在x轴上方，分类讨论即可
（3）转化为x²-2x+2＞4在x∈[1，2]上恒成立，分类讨论利用函数最小值判断求解即可．

解答 解（1）函数y=log₂（ax²-2x+2）的定义域为R，
∴ax²-2x+2＞0对于任意的实数都成立；
当a=0时，2x+2＞0，故不符合题意；
当a≠0时，则有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-8a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{1}{2}$
故实数a的取值范围：a$＞\frac{1}{2}$
（2）∵B=R，
∴函数y=ax²-2x+2的图象不在x轴上方，
当a=0时，y=2x+2，故符合题意；
当a≠0时，则有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-8a≥0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$
故实数a的取值范围：0≤a$≤\frac{1}{2}$
（3）∵log₂（ax²-2x+2）＞2在x∈[1，2]上恒成立
∴ax²-2x+2＞4在x∈[1，2]上恒成立
ax²-2x-2＞0在x∈[1，2]上恒成立
当a=0时，y=ax²-2x+2=-2x+2不可能ax²-2x-2＞0在x∈[1，2]上恒成立
当a＜0时，y=ax²-2x+2，对称轴x=$\frac{1}{a}$＜0，x∈[1，2]上单调递减
y_小=4a-6＞0，即可得出a$＞\frac{3}{2}$
不可能成立
当a＞0时，ax²-2x-2＞0，转化为ax$-\frac{2}{x}$-2＞0
令y=ax$-\frac{2}{x}$-2，根据单调性得出：a-2-2＞0，a＞4
综上可得出实数a的取值范围：a＞4．

点评 本题综合考查了函数不等式的性质，运用构造数学思想转化为函数最值求解不等式恒成立问题，属于中档题．