Question

在△ABC中，BC=1，cosB=

2 2

3

，cosA=sinC，求sinA及AC的值．

Answer 1

分析：由cosA=sinC，得cosA=cos（

π

2

-C），进而可得2A=

π

2

-B，利用cos2A=sinB=

1-cos2B

=

1

3

，即1-2sin²A=

1

3

，可得sinA的值，由正弦定理，可求AC的值．

解答：解：由cosA=sinC，得cosA=cos（

π

2

-C），
因为A∈（0，

π

2

），

π

2

-C∈（-

π

2

，

π

2

），所以A=

π

2

-C，或A=C-

π

2

，
若A=

π

2

-C，则A+C=

π

2

，B=

π

2

，这与cosB=

2 2

3

矛盾．
所以A=C-

π

2

=π-（A+B）-

π

2

，
即2A=

π

2

-B，…（5分）
所以cos2A=sinB=

1-cos2B

=

1

3

，即1-2sin²A=

1

3

，
因为sinA＞0，所以sinA=

3

3

．…（8分）
由正弦定理，有

AC

sinB

=

BC

sinA

，所以AC=

BC•sinB

sinA

=

3

3

．…（12分）

点评：本题考查诱导公式、二倍角公式，考查正弦定理的运用，正确计算A是关键．