Question

【题目】在五面体中，四边形是正方形，，，.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据题意先证得四边形为等腰梯形，再证得，于是．又可得到平面，于是，根据线面垂直的判定定理可得平面，于是可得所证结论．（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据两向量的夹角的余弦值可得所求线面角的正弦值．

（1）证明：由已知，且平面，平面，

所以平面．

又平面平面，

故．

又，

所以四边形为等腰梯形．

因为，

所以，

所以，

所以．

因为，且，

所以平面.

所以．

又，

∴平面，

又平面，

所以．

（2）如图，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

∴，

设平面的法向量为，

由，得，

令，得．

设直线与平面所成的角为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为．