题目内容
16．设数列{an}满足a1=2，a2=6，且an+2-2an+1+an=2，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]=0，[1.2]=1，则$[{\frac{m}{a_1}+\frac{m}{a_2}+…+\frac{m}{a_m}}]$的值用m表示为m-1．分析 构造bn=an+1-an，则b1=a2-a1=4，由题意可得（an+2-an+1）-（an+1-an）=bn+1-bn=2，利用等差数列的通项公式可得bn，利用“累加求和”方法可得an．进而得出结论．
解答 解：构造bn=an+1-an，则b1=a2-a1=4，
由题意可得（an+2-an+1）-（an+1-an）=bn+1-bn=2，
故数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，
故bn=an+1-an=4+2（n-1）=2n+2，
故a2-a1=4，a3-a2=6，a4-a3=8，…，an-an-1=2n，
以上n-1个式子相加可得an-a1=$\frac{（n-1）（4+2n）}{2}$，解得an=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
则$[{\frac{m}{a_1}+\frac{m}{a_2}+…+\frac{m}{a_m}}]$=$[m（1-\frac{1}{m+1}）]$=$[m-1+\frac{1}{m+1}]$=m-1．
故答案为：m-1．
点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{5π}{6}$ |
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| A． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{10}}{5}$ | C． | $\sqrt{10}$ | D． | $\sqrt{2}$ |