Question

14．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，对?n∈N^*有2S_n=a_n²+a_n．令b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}+{a_{n+1}}\sqrt{a_n}}}$，设{b_n}的前n项和为T_n，则在T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中有理数的个数为9．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1整理计算可知a_n-a_n-1=1，进而可知数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列，裂项可知b_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，并项相加可知T_n=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，进而只需当1≤n≤100时n+1=t²即可，进而可得结论．

解答 解：∵2S_n=a_n²+a_n，
∴当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（a_n²+a_n）-（a_n-1²+a_n-1），
整理得：（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=a_n+a_n-1，
又∵数列{a_n}的每项均为正数，
∴a_n-a_n-1=1，
又∵${2a}_{1}={{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}$，即a₁=1，
∴数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列，
∴a_n=n，
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}+{a_{n+1}}\sqrt{a_n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$•$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$
=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n（n+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
要使得T_n为有理数，只需$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$为有理数即可，即n+1=t²，
∵1≤n≤100，
∴t=3、8、15、24、35、48、63、80、99，
即在T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中有理数的个数为9个，
故答案为：9．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．