Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：
（1）对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2；
（2）f（1）=3
（3）若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（ I）求f（0）的值；
（ II）求f（x）的最大值；
（ III）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足．求证：．

Answer 1

（I）解：令x₁=x₂=0，由f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，则f（0）≥2f（0）-2，∴f（0）≤2．
由对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2，∴f（0）≥2，故f（0）=2；
（II）对任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，则0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥2，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2≥f（x₁），
∴f_max（x）=f（1）=3；
（III）∵①，
∴②，
①-②得：，
由，得：，解得a₁=1．
∵a₁=1≠0，∴（n≥2），
∴．
∴
∴，即．
所以

=
==．
故
∴=．
即原不等式式成立．
分析：（Ⅰ）取特值x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2后可求得f（0）≤2，又对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2，由此可得f（0）=2；
（Ⅱ）在[0，1]内任取两个值x₁，x₂，规定x₁＜x₂后，由f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2推出f（x₂）≥f（x₁），由此可得f（x）的最大值为3；
（Ⅲ）由数列{a_n}的前n项和求出数列的通项公式，把转化为，然后代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，变形整理后得即，循环放大得到，代入求证的不等式左边化简即可．
点评：本题考查了数列的函数特性，考查了数列的和，训练了利用放缩法求证不等式，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是难度较大的题目．