Question

3．已知f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函数g（x）=lg（f（x）-2）的定义域；
（2）若f（x）的最小值为m，a，b，c∈R，a+b+c=m，证明：a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由题意，|x-1|+|x-2|＞2，利用绝对值的几何意义化简，即可确定函数g（x）=lg（f（x）-2）的定义域；
（2）确定a+b+c=1，再由三元柯西不等式即可得证．

解答 （1）解：由题意，|x-1|+|x-2|＞2，
x＜1时，-x+1-x+2＜2，解得x＞0.5，∴0.5＜x＜1；
1≤x≤2时，x-1-x+2＜2，成立；
x＞2时，x-1+x-2＜2，解得x＜2.5，∴2＜x＜2.5；
综上所述，0.5＜x＜2.5，
∴函数g（x）=lg（f（x）-2）的定义域为{x|0.5＜x＜2.5}；
（2）证明：f（x）=|x-1|+|x-2|≥|x-1-x+2|=1，
∴f（x）的最小值为1，
∴m=1，
∴a+b+c=1
由柯西不等式可得（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²，
即得a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用，属于中档题．