题目内容
【题目】已知椭圆
：
的短轴长为2，且椭圆过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
过定点
，且斜率为
，若椭圆上存在
，
两点关于直线对称，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）将点
的坐标代入椭圆方程，再结合
，求出
的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线
的方程为
，
，
，然后由直线方程与椭圆方程联立方程组，消去
，判别式大于零，再通过根与系数的关系，得到线段中点的横坐标，再将其代入直线方程中得到中点的纵坐标，将线段中点坐标代入直线
的方程，可得到
的关系式，再结合判别式得到的不等式可求出
的取值范围.
解：（1）∵椭圆
的短轴长为2，∴，即
.
又点在上，∴
，∴
，
∴椭圆的方程为.
（2）由题意设直线的方程为，
，
，
由
消去得，
，
∴
，即
，①
且
，
∴线段中点的横坐标
，纵坐标
，
即线段的中点为
，
将代入直线
可得，
，②
由①，②可得，
，∴.
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