Question

设函数
（1）若x=1是的极大值点，求a的取值范围。
（2）当a=0，b=-1时，函数有唯一零点，求正数的值。

Answer 1

（Ⅰ）的定义域为，
，由=0，得.
∴.
①若a≥0，由=0，得x=1.
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减.所以x=1是的极大值点.
②若a＜0，由=0，得x=1，或x=.
因为x=1是的极大值点，所以＞1，解得－1＜a＜0.
综合①②：a的取值范围是a＞－1.
（Ⅱ）因为函数有唯一零点，即有唯一实数解，
设，则．令，．
因为，所以△=>0，方程有两异号根设为x₁<0，x₂>0.因为x>0，所以x₁应舍去.
当时，，在（0，）上单调递减;
当时，，在（，+∞）单调递增.
当时，=0，取最小值．
因为有唯一解，所以，
则  即
因为，所以（*）
设函数，因为当时，
是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，
代入方程组解得

略