Question

已知椭圆的左右顶点分别为，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为曲线:上任一点（点不同于），直线与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．

 

Answer 1

（1）；（2）相切

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的左右顶点分别为，离心率，即可求出的值.即可得到结论.

（2）依题意假设点C坐标，以及点R的坐标，由点A，C，R三点共线即可求得点R的坐标表示.从而表示出点D的坐标，写出直线CD的方程，再计算圆心到该直线的距离，再根据点C在圆上，即可判断直线与圆的位置关系.

（1）由题意可得，， ∴ ． 2分

∴， 3分

所以椭圆的方程为． 4分

（2）解法一：曲线是以为圆心，半径为2的圆.

设，点的坐标为， 5分

∵三点共线， ∴， 6分

而，，则，

∴， 7分

∴点的坐标为，点的坐标为， 8分

∴直线的斜率为，

而，∴，

∴， 10分

∴直线的方程为，化简得，

∴圆心到直线的距离， 11分

所以直线与曲线相切． 12分

解法二：同解法一得， 10分

又，故，即，

所以直线与圆相切． 12分

考点：1.待定系数法求椭圆方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.方程的思想.