Question

抛物线在点，处的切线垂直相交于点，直线与

椭圆相交于，两点．

（Ⅰ）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；

（Ⅱ）设点到直线的距离为，试问：是否存在直线，使得，，

成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（I）解：抛物线的焦点，                                          …

椭圆的左焦点，                                                                                  

则．                                                  

（II）解：设直线，，，，，

由，得，                              

故，．  

由，得，故切线，的斜率分别为，，                 

再由，得，即，     

故，这说明直线过抛物线的焦点．                        

由，得，

，即． 

于是点到直线的距离. 

由，得，                        

从而，    

同理，．                                     

若，，成等比数列，则，                

即，化简整理，得，

此方程无实根，所以不存在直线，使得，，成等比数列．