Question

如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．
（1）求证：平面；
(2）求多面体的体积．

Answer 1

（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．

试题分析： （1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰
直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．
连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.
（2）利用平面，得到,
再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形 是矩形,且侧面⊥平面.
取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.
所以多面体的体积．      12分
试题解析： （1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰
直角三角形，，平面,侧面都是边长为的
正方形．连结，则是的中点，
在△中，，
且平面，平面，
∴∥平面．          6分

（2） 因为平面，平面,
,
又⊥，所以，⊥平面，
∴四边形 是矩形,且侧面⊥平面     8分
取的中点,,且平面．      10分
所以多面体的体积．      12分