Question

已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x，0）．证明．

Answer 1

【答案】分析：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x₁≠x₂．又交点为P（x，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x关于x₁和x₂的关系式，最后根据x₁和x₂的范围确定x的范围．
解答：证明：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x₁≠x₂．又交点为P（x，0），故|PA|=|PB|，即
（x₁-x）²+y₁²=（x₂-x）²+y₂²①
∵A、B在椭圆上，
∴，．
将上式代入①，得
2（x₂-x₁）x=②
∵x₁≠x₂，可得．③
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，
∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴．
点评：本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．