题目内容

已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋)(x＋a)

(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；

(2)若(－1)＝0，(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对任意的x1，x2∈[－1，0]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤m恒成立，试求m的最小值．

答案：
解析：

　　(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋x＋a，∴f1(x)＝3x2＋2ax＋．

　　∵函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，∴f1(x)＝0有实数解，∴△＝4a2－4×3×3/2≥0，∴a2≥9/2，因此，所求实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．　　4分

　　(2)(I)∵(－1)＝0，∴3－2a＋3/2＝0，即a＝9/4，(x)＝3x2＋2ax＋3/2＝3(x＋1/2)(x＋1)．由(x)＞0，得x＜－1或x＞－1/2，由(x)＜0，得－1＜x＜－1/2．

　　因此，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1]，[－1/2，＋∞)；

　　单调减区间为[－1，－1/2]　　8分

　　(ii)由(I)的结论可知，f(x)在[－1，－1/2]上的最大值为f(－1)＝25/8，最小值为f(－1/2)＝49/16，f(x)在[－1/2，0]上的最大值为f(0)＝27/8，最小值为f(－1/2)＝49/16，∴f(x)在[－1，0]上的最大值为f(0)＝27/8，最小值为f(－1/2)＝49/16．因此，任意的x1，x2∈[－1，0]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤．故mmin＝　　13分


练习册系列答案
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15、已知a为实数，函数f（x）=ex（x2-ax+a）．
（Ⅰ）求f′（0）的值；
（Ⅱ）若a＞2，求函数f（x）的单调区间．
已知a为实数，函数f（x）=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a．
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（2）若f'（-1）=0，对任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求m的最小值．
已知a为实数，函数f(x)=
1
1-ax
，g（x）=（1+ax）ex，记F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y-1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函数g（x）的最小值；
（3）当a=-
1
2
时，解不等式F（x）＜1．
已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）．
（1）若f'（-1）=0，求函数y=f（x）在[-
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，1]上的最大值和最小值；
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．
（2010•湖北模拟）已知a为实数，函数f(x)=(x2+
3
2
)(x+a)．
（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（II）当a=
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4
时，对任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，试求m的取值范围．

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