Question

（2010•湖北模拟）已知a为实数，函数f(x)=(x2+

3

2

)(x+a)．
（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（II）当a=

9

4

时，对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则f'（x）=0有实数解，从而可求a的取值范围；
（II）对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，可转化为：对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式f（x₁）_max-f（x₂）_min≤m恒成立，利用导数可求．

解答：解：（I）∵f(x)=x3+ax+

3

2

x+

3

2

a，∴f′(x)=3x2+2ax+

3

2

∵函数f（x）的图象上有x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解∴△=4a2-4×3×

3

2

≥0，∴a2≥

9

2

因此，实数a的取值范围是(-∞，-

3 2

2

]∪[

3 2

2

，+∞)…（5分）
（II）当a=

9

4

时，f′(x)=3x2+2ax+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)
由f′(x)＞0，得x＜-1或x＞-

1

2

…（6分）
由f′(x)＜0，得-1＜x＜-

1

2

因此，函数f（x）的单调区间为(-∞，-1]，[-

1

2

，+∞)；
单调减区间为[-1，-

1

2

]…（8分）
由此可知f(x)在[-1，-

1

2

]上的最大值为f(-1)=

25

8

，最小值为f(-

1

2

)=

49

16

；
f(x)在[-

1

2

，0]上的最大值为f(0)=

27

8

，最小值为f(-

1

2

)=

49

16

．
∴f(x)在[-1，-

1

2

]上的最大值为f(0)=

27

8

，最小值为f(-

1

2

)=

49

16

．
因此，任意的x₁x₂∈[-1，0]，恒有|f(x1)-f(x2)|≤

27

8

-

49

16

=

5

16

所以m的取值范围是[

5

16

，+∞)…（12分）

点评：本题的考点是利用导数求函数在闭区间上的最值，主要考查导数的几何意义，考查恒成立问题，关键是将不等式恒成立问题转化为最值去解决．