Question

已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
（1）用和表示；
（2）求对所有都有成立的的最小值；
（3）当时，比较与的大小，并说明理由。

Answer 1

（1）；
（2）a的最小值是；
（3），证明见解析.

（1）由已知得，交点A的坐标为，对则抛物线在点A处的切线方程为
由（1）知f(n)=,则
即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥
当,


>2n³+1
当n=0,1,2时，显然
故当a=时，对所有自然数都成立
所以满足条件的a的最小值是。
（3）由（1）知，则，

下面证明： 
首先证明：当0<x<1时，
设函数

当
故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)_min=g
所以，当0<x<1时，g(x)≥0,即得
由0<a<1知0<a^k<1(),因此，从而


[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。