Question

18．在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且2S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用2S_n=n²+n，能求出a_n．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和为T_n的取值范围．

解答 解：（1）∵数列{a_n}中，前n项和为S_n，且2S_n=n²+n．
∴n=1时，a₁=S₁=$\frac{{1}^{2}+1}{2}$=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}-\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，
n=1时，成立，∴a_n=n．
（2）∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2．
∵$\frac{2+n}{{2}^{n}}$随n的增大而减小，∴（T_n）_min=T₁=2-$\frac{2+1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴T_n的取值范围是[$\frac{1}{2}$，2）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．