Question

【题目】已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0,1）对称.

（1）求f（x）的解析式;

（2）若g（x）=x2·[f（x）-a],且g（x）在区间[1,2]上为增函数,求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求曲线关于一点A（0,1）对称的曲线的解析式，可设是对称轴线上的任意一点，利用对称性求出关于A（0,1）的对称点的坐标，把代入已知函数解析式即可得的解析式；（2）由（1）是三次函数，求出导数，这样由题意g'（x）=3x2-2ax+1≥0在[1,2]上恒成立，即对x∈[1,2]恒成立，由此只要求得的最小值即可得的范围．

试题解析：（1）设f（x）图象上任一点的坐标为P（x,y）,因为点P关于点A（0,1）的对称点P'（-x,2-y）在h（x）的图象上,

∴2-y=-x+ +2,∴y=x+,即f（x）=x+

（2）g（x）=x2·[f（x）-a]=x3-ax2+x,

又g（x）在区间[1,2]上为增函数,

∴g'（x）=3x2-2ax+1≥0在[1,2]上恒成立,

即2a≤3x+对x∈[1,2]恒成立.

不妨令r（x）=3x+,

由于函数r（x）=3x+在[1,2]上单调递增,

故r（x）min=r（1）=4.于是2a≤4,a≤2.