Question

如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点．

（I）证明：//平面；   

（II）求二面角的平面角的余弦值；

Answer 1

解：法一：（I）以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，

设 是平面BDE的一个法向量，

则由  ，得

取，得．  

∵，  

（II）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面的一个法向量．                               

设二面角的平面角为，由图可知

∴．

故二面角的余弦值为． 

法二：（I）连接，交于，连接．在中，为中位线，

,//平面．

（II）⊥底面, 平面⊥底面，为交线,⊥

平面⊥平面，为交线, =，是的中点⊥

⊥平面， ⊥ 即为二面角的平面角．

设，在中,

故二面角的余弦值为．