Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x+ln（x+1）-1．
（1）求函数f（x）的解析式；并判断f（x）在[-1，1]上的单调性（不要求证明）；
（2）解不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的解析式，先设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，解出f（-x），再由奇函数的定义得到f（-x）=-f（x），两者联立解出x∈[-1，0]，上的解析式．再将f（x）的解析式写成分段函数的形式．
（2）不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0可由奇函数的性质变为f（2x-1）≥f（x²-1），利用单调性解这个抽象不等式即可．

解答：解：（1）设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
所以f(-x)=2-x+ln(1-x)-1=

1

2x

+ln(1-x)-1．（3分）
又f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
于是f（x）=-f（-x）=-

1

2x

-ln(1-x)+1．（5分）
故f(x)=

- 1 2x -ln(1-x)+1，(-1≤x＜0) 2x+ln(x+1)-1    (0≤x≤1).

（6分）
判断：f（x）在[-1，1]上是增函数；（8分）
（2）因奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，
所以f（2x-1）+f（1-x²）≥0?f（2x-1）≥f（x²-1） （10分）
?

2x-1≥x2-1 -1≤2x-1≤1 -1≤x2-1≤1

?

0≤x≤2 0≤x≤1 - 2 ≤x≤ 2 .

（14分）
解得0≤x≤1，所以不等式的解集为{x|0≤x≤1}．（16分）

点评：本题考查函数的性质，利用奇偶性求函数的解析式以及用单调性与奇偶性相结合解抽象不等式，在解抽象不等式时一定要注意转化的等价，别漏了条件，这是本题易错的地方．