Question

过抛物线y²=2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点.设△AOB的面积为S(O为原点).

(1)用θ、p表示S;

(2)求S的最小值,若最小值为4时,求此时的抛物线方程.

Answer 1

分析：求△AOB的面积有两种途径,一是求顶点到AB的距离OH(如图所示),利用S=|AB|·|OH|;二是将图形进行分割,利用S=S_△AOF+S_△BOF,把OF看作两三角形的公共底边.

@@解法一：

(1)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

若θ=90°时,AB⊥x轴,由抛物线定义,知|AB|=2p,这时|OH|=|OF|=,

∴S_△AOB=·2p·

若θ≠90°时,设直线AB方程为y=tanθ(x-),

则|OH|= (∵0°＜θ＜180°).

从中消去x,得

y²-(2pcotθ)y-p²=0.                             ①

∵y₁、y₂是方程①的两根,

∴y₁+y₂=2pcotθ,y₁y₂=-p².

由弦长公式,得

|AB|=·|y₁-y₂|=·

=(1+cot²θ)·2p

,

∴.                                   ②

当θ=90°时,S=满足②式,

∴

(2)∵0°＜θ＜180°,

∴,当且仅当θ=90°时,等号成立,即S_min=,表示焦点弦AB变成通径时,△AOB面积最小.

令=4,得p=.

∴所求抛物线方程是y²=4x.

解法二：从S=S_△AOF+S_△BOF

其余同解法一就可得到结论.

绿色通道：

在本题解决的过程中,已证明了焦点弦长公式|AB|=,由S=,还可推出关系式,表明对于抛物线y²=2px来讲,S²:|AB|=(定值).