Question

设函数，
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤f（1）；
（2）求a的取值范围，使得函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把a=2代入，在把所求不等式转化为，最后分两种情况分别求解即可；
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，对其函数值作差，整理后把问题转化为恒成立，（或恒成立），进而转化为求函数的最大最小值问题即可．
解答：解：（1）a=2时，f（x）≥f（1）可化为：，等价于：①或   ②
解①得 ，解②得 x≤-1．
所以，原不等式的解集为  ．
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，则

要使函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数，需且只需：恒成立，（或恒成立）．
因此，只要求出在条件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下的最大、最小值即可．
为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：x₁=1，x₂→1，
容易知道，此时→+∞；
若考虑x₁＜x₂→+∞，则不难看出，此时→1，至此我们可以看出：要使得函数f（x）为单调函数，只需a≤1．
事实上，当a≤1时，由于恒成立，
所以，．所以，在条件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下，必有：f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以，f（x）在区间[1，+∞）上单调递减．
当a＞1时，由（1）可以看出：特例a=2的情况下，存在．
由此可以猜想：函数f（x）在区间[1，+∞）上不是单调函数．
为了说明这一点，只需找到x₁，x₂∈[1，+∞），使得f（x₁）=f（x₂）即可．
简便起见，不妨取x₁=1，此时，可求得，也即：，所以，f（x）在区间[1，+∞）上不是单调函数．
另解：，对x∈[1，+∞），易知：
当x→1时，；当x→+∞时，；
所以当x∈[1，+∞）时，，
从而只须a≤1，必有f'（x）＜0，函数在x∈[1，+∞）上单调递减．
点评：本题主要考察一元二次不等式的应用以及恒成立问题．第二问难度较大，建议程度不太好的学生只研究第一问即可．