Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记b_n=（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_k≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）记c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n，都有T_n＜。

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，，∴，
又∵，
∴，即，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项，公比，
∴，；
（Ⅱ）不存在正整数k，使得成立；
下证：对任意的正整数n，都有成立，
由（Ⅰ）知，

，
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N*），
∴；
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N*），
∴，
∴对于一切的正整数n，都有R_n＜4k，
∴不存在正整数k，使得成立．
（Ⅲ）由得

，
又，
∴，
当n=1时，；
当n≥2时，
。