Question

等比数列公比不为1，其前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，则（　　）

A．P+R=2Q

B．Q²=PR

C．R=3（Q-P）

D．P²+Q²=P（Q+R）

Answer 1

分析：由公比q不为1，利用等比数列的求和公式分别表示出前n项和、前2n项和、前3n项和，即表示出P、Q、R，代入四选项中进行检验，即可得到正确的选项．

解答：解：∵q≠1，
∴P=S_n=

a1(1-qn)

1-q

，Q=S_2n=

a1(1-q2n)

1-q

，R=S_3n=

a1(1-q3n)

1-q

，
则P+R=

a1(1-qn)

1-q

+

a1(1-q3n)

1-q

=

a1(2-qn-q3n)

1-q

≠

a1(1-q2n)

1-q

=R，故选项A错误；
Q²=

a12(1-q2n)2

(1-q)2

≠

a1(1-qn)

1-q

•

a1(1-q3n)

1-q

=PR，故选项B错误；
R=

a1(1-q3n)

1-q

≠3（

a1(1-q2n)

1-q

-

a1(1-qn)

1-q

）=3（Q-P），故选项C错误；
∵P²+Q²=

a12

(1-q)2

[（1-qⁿ）²+（1-q²ⁿ）²]=

a12

(1-q)2

（q⁴ⁿ-q²ⁿ-2qⁿ+2），
P（Q+R）=

a1(1-qn)

1-q

[

a1(1-q2n)

1-q

+

a1(1-q3n)

1-q

]=

a12

(1-q)2

（q⁴ⁿ-q²ⁿ-2qⁿ+2），
则P²+Q²=P（Q+R），故选项D正确，
故选D

点评：此题考查了等比数列的前n项和公式，以及等比数列的性质，数列掌握等比数列的求和公式是解本题的关键．