Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n且
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为T_n，求满足不等式3T_n＞S_n的n值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知条件得到Sn的通项公式，再根据a_n=S_n-S_n-1得到{a_n}的通项公式；
（2）写出的通项公式，求出Tn，直接解不等式．
解答：解：（1）解法1：由得当n≥2时
∴即∴
又a₁=1，得∴∴-（6分）
∴数列a_n是首项为1，公比为的等比数列∴
解法2：由得
即∴数列S_n+2是首项为S₁+2=3，公比为的等比数列
∴即
当n≥2时∴a_n=S_n-S_n-1==
显然当n=1时上式也成立∴．
（2）∵z数列a_n是首项为1，公比为的等比数列，
∴数列是首项为1，公比为的等比数列--（8分）∴，
又∵∴不等式3T_n＞S_n即
令并整理得9m²-11m+2＜0，解得
即，将n=1，2，3代入都符合，又
且函数在R上为减函数，故当n≥4时都有
∴满足不等式3T_n＞S_n的n值为：1，2，3．
点评：本题考查了数列的通项公式的求法以及数列的求和，还考查了不等式的解法，属于综合题型．