题目内容

已知二阶矩阵A属于特征值-1的 一个特征向量为 
-1
 
3
，属于特征值7的 一个特征向量为 
1
 
1

①求矩阵A；  
②求解方程 A
x
y
=
7
14
．
分析：（1）根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立四个等式关系，解四元一次方程组即可．
（2）根据（1）中矩阵，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出A-1，求解A-1 
7 
14 
即可．
解答：解：（1）设矩阵A=
ab
cd
，
由A属于特征值-1的一个特征向量为 
-1
 
3
，得
ab
cd
 
-1
 
3
=-1 
-1
 
3
，
即
-a+3b=1
-c+3d=-3
；
由矩阵A属于特征值7的一个特征向量为 
1
 
1
，可得
ab
cd
 
1
 
1
=7
1
 
1
，
即
a+b=7
c+d=7
，
解得
a=5 
b=2 
c=6 
d=1 
，即矩阵A=
52
61
．
（2）由（1）知，ad-bc=-7，则A-1=
1
-7
-6
-7
-2
-7
5
-7
=
-
1
7
 
6
7
 
2
7
-
5
7
，
则
x 
y 
=
-
1
7
 
6
7
 
2
7
-
5
7
 
7
14
=
11 
-8 
，
故方程的解：
x=11
y=-8
．
点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于基础题．
练习册系列答案
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如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
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1
-4
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C．选修4-4：坐标系与参数方程
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π
4
)=
2
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x=2cosα
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D．选修4-5：不等式选讲
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A．（选修4-1：几何证明选讲）
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1
1
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1
-1
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C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
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π
2
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π
4
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D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求证：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e1=
1
1
和特征值λ2=2及对应的一个特征向量e2=
1
0
，试求矩阵A．
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e
=
1
1
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