Question

如图,⊙O与⊙O′外切于F，直线AB切⊙O于A，切⊙O′于B，直线CE∥AB，切⊙O′于C，交⊙O于D、E.

证明：（1）A，F，C共线；（2）△ABC的外接圆与△BDE的外接圆的公共弦通过点F.

Answer 1

证明：（1）过F作两圆的公切线，交AB于G，交CD于H，则∠AGF=∠CHF，且∠GFA=∠GAF=（180°-∠AGF），同理∠CFH=∠FCH=（180°-∠CHF）.所以∠GFA=∠CFH，即A、F、C三点共线.

(2)易知CB是⊙O′的直径，所以CB⊥AB，BF⊥AC，CB²=CF×CA=CE×CD，即CB是△BDE的外接圆的切线，这个三角形的外心在CB的垂线BA上，又在DE的垂直平分线上.因而A在DE的垂直平分线上，A是△BDE的外心，Rt△ABC的外心是AC的中点，故△ABC的外接圆与△BDE的外接圆的连心线为AC，B为这两个圆的公共点，BF⊥AC，所以两圆公共弦所在直线通过点F.