Question

如图，过抛物线y²＝2px(p＞0)上一定点P(x₀，y₀)(y₀＞0)，作两条直线分别交抛物线于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当y＝时，x＝， 　　又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝，由抛物线定义得，所求距离为－()＝． 　　(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB， 　　由＝2px1，＝2px0，相减得 　　(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)， 　　故kPA＝(x1≠x0)． 　　同理可得kPB＝(x2≠x0)． 　　由PA，PB倾斜角互补知kPA＝－kPB， 　　即＝－， 　　所以y1＋y2＝－2y0， 　　故＝－2． 　　设直线AB的斜率为kAB． 　　由＝2px2，＝2px1，相减得 　　(y2－y1)(y2＋y1)＝2p(x2－x1)， 　　所以kAB＝(x1≠x2)． 　　将y1＋y2＝－2y0(y0＞0)代入得 　　kAB＝，所以kAB是非零常数． 　　思路分析：由已知求得抛物线的焦点F(，0)，容易求出第(1)问的答案为．在求第(2)问时，关键的步骤有两个：一个是用“点差法”求直线PA和PB的斜率，另一个是两条直线的倾斜角互补时，其斜率互为相反数．