Question

如图，过抛物线y²＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M₁、N₁   

 

(Ⅰ)求证：FM₁⊥FN₁:

(Ⅱ)记△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面积分别为，试判断S²₂＝4S₁S₃是否成立，并证明你的结论。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

Answer 1

(Ⅰ) 略（Ⅱ）成立。

解析:

本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）

（1）       证法1：由抛物线的定义得

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

               2分

如图，设准线l与x的交点为

而

即

故

证法2：依题意，焦点为准线l的方程为

设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有

由  得

于是，，

，故

（Ⅱ）成立，证明如下：

证法1：设，则由抛物线的定义得

，于是

将与代入上式化简可得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

，此式恒成立。

故成立。

证法2：如图，设直线M的倾角为，

则由抛物线的定义得

于是

在和中，由余弦定理可得

由（I）的结论，得

即，得证。