Question

已知f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

-

1

2

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先用两角和公式和对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）先利用正弦定理把题设中的等式转化成关于角的正弦和余弦的等式，进而根据两角和公式化简整理求得cosB，进而求得B，利用三角形的内角和求得A的范围，则f（A）的取值范围可得．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

=sin(

x

2

+

π

6

)．
∵2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）
∴4kπ-

4π

3

≤x≤

2π

3

+4kπ，（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（2a-c）cosB=bcosC，
得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

．
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1，
故函数f（A）的取值范围是(

1

2

，1)．

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性．考查了解三角形问题中正弦定理得应用．