题目内容
【题目】设圆
，直线
.
（1）求证： 
，直线
与圆
总有两个不同的交点；
（2）设
与圆
交于不同的两点
，求弦
中点
的轨迹方程；
（3）若点
分弦
所得的向量满足
，求此时直线
的方程.
【答案】（1）见解析（2）
（3）
或
.
【解析】【试题分析】（1）由于直线过定点
，而这个点在圆内，故直线与圆总有两个不同的交点.（2）设
，利用
，利用两个向量数量积为令列方程，化简可得
的轨迹方程.（3）设出
两点的坐标，利用
可得两者横坐标的关系，联立直线的方程和圆的方程，写出韦达定理，由此解得
，进而求得
的方程.
【试题解析】
（1）直线
恒过定点
，且它在圆内.
（2）设
，当
不与
重合时，连接
，可得
的轨迹方程为： 
.
（3）设
， 
， 
，得
.
将直线与圆的方程联立得： 
.
∴
，可得
.
故直线
的方程为
或
.
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