题目内容

已知函数 $数学公式$ （ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间 $数学公式$ 上的最大值．

解：（Ⅰ）∵函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +sin（2ωx- $\text{[math]}$ ），且它的周期等于π，∴ $\text{[math]}$ =π，
∴ω=1，∴f（x）= $\text{[math]}$ +sin（2x- $\text{[math]}$ ）．
（Ⅱ）由 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，故f（x）的单调递减区间为
[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（Ⅲ）∵ $\text{[math]}$ ，∴2x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，故当 2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上
有最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、两角和差的正弦公式，化简函数的解析式为 $\text{[math]}$ +sin（2ωx- $\text{[math]}$ ），根据周期等于π 求出ω 值．
（Ⅱ）由 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求出x的范围即得f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）根据 $\text{[math]}$ ，可得 2x- $\text{[math]}$ 的范围，利用正弦函数的定义域和值域求出函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上
的最大值．
点评：本题考查二倍角公式、两角和差的正弦公式，三角函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，是一道中档题．