Question

（本小题满分12分）如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.
 
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.

Answer 1

(I) .(II) 时，取得最大值.

试题分析：（1）根据已知中的离心率和矩形的面积得到a,b,c的方程，进而求解椭圆方程。
（2）将已知中的直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得到根与系数的关系，那么得到弦长公式，同时以及得到点S,T的坐标，进而得到比值。
(I)……①
矩形ABCD面积为8，即……②
由①②解得：， ∴椭圆M的标准方程是.
(II)，
设，则，
当  .
当时，有，
，
其中，由此知当，即时，取得最大值.
点评：解决该试题的关键是运用代数的方法来解决解析几何问题时，解析几何的本质。能结合椭圆的性质得到其方程，并联立方程组，结合韦达定理和判别式的到比值。