Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求平面ADF与平面AA₁B₁B所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，DA、DB、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（D₁是C₁B₁的中点），建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，证明

B1F

•

DF

=0且

B1F

•

DA

=0，即可证得B₁F⊥平面ADF；
（2）求得平面AA₁B₁B的一个法向量

n

=(a，2

2

a，0)，利用cos＜

B1F

，

n

＞=

B1F • n

| B1F || n |

，即可求得二面角的余弦值．

解答：（1）证明：以D为坐标原点，DA、DB、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（D₁是C₁B₁的中点），
则A（2

2

a，0，0），B（0，a，0），F（0，-a，2a），B₁（0，a，3a），（4分）

B1F

=(0，-2a，-a)，

DF

=(0，-a，2a)，

DA

=(2

2

a，0，0)，
由

B1F

•

DF

=0且

B1F

•

DA

=0，得B₁F⊥DF，B₁F⊥DA，
∵DF∩DA=D，且DF、DA?平面ADF
∴B₁F⊥平面ADF；（6分）
（2）由（1）知

BA

=(2

2

a，-a，0)，

BB1

=(0，0，3a)，
设平面AA₁B₁B的一个法向量为

n

=(x，y，0)，
则

BB1

•

n

=0且

BA

•

n

=0，可取

n

=(a，2

2

a，0)，（8分）
由cos＜

B1F

，

n

＞=

B1F • n

| B1F || n |

=-

4 10

15

即所求二面角的余弦值是

4 10

15

．（13分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．