题目内容
函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f(x)=-tx3+tx，记函数f(x)的图象在x=
处的切线为l，f′(
)=1．(Ⅰ)当x∈[0，1]时，求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)求切线l的方程；
(Ⅲ)点列B1(b1，2)，B2(b2，3)，…，Bn(bn，n+1)在l上，A1(x1，0)，A2(x2，0)，…，An(xn，0)依次为x轴上的点，如图，当n∈N*，点An、Bn、An+1构成以AnAn+1为底边的等腰三角形．若x1=a(0＜a＜1)，且数列{xn}是等差数列，求a的值和数列{xn}的通项公式．
答案：解：(Ⅰ)当0≤x≤1时，则-1≤-x≤0，
∴f(-x)=-t(-x)3+t·(-x)．
∵f(-x)=f(x)，
∴f(x)=tx3-tx，x∈[0，1]．
∴f′(x)=3tx2-t，由于f′(
)=1，∴t=-4．
∴f(x)=-4x3+4x(x∈[0，1])．
(Ⅱ)由题意切点为(，f())即(
，
)，l的斜率为k1=f′(
)=1，
由直线点斜式方程知l的方程为y=x+1．
(Ⅲ)∵点Bn(bn，n+1)在直线y=x+1上，
∴bn=n．
∴
=n，即xn+xn+1=2n．
由此有：xn+1+xn+2=2n+2．
两式相减得：xn+2-xn=2．
∴数列{xn}的所有奇数项、所有偶数项分别构成以2为公差的等差数列．
又x1+x2=2，x1=a，∴x2=2-a．
∴x2n-1=x1+2(n-1)=(2n-1)+a-1，
x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a．
当且仅当a-1=-a即a=
时，{xn}为等差数列．
此时数列{xn}的通项公式为xn=n-
．
(Ⅲ)另解：同前得xn+1+xn=2n，即xn+1=-xn+2n．
记xn+1+p(n+1)+q=-(xn+pn+q)，
展开得：xn+1=-xn-2pn-2q-p，
比较得
，解得p=-1，q=
．
∴xn+1-(n+1)+
=-(xn-n+
)．
令bn=xn-n+
，则上式为bn+1=-bn，
∴{bn}是以-1为公比，首项为b1=x1-1+
=a-
的等比数列.
∴bn=(a-
)(-1)n，
即xn-n+
=(a-
)(-1)n．
∴xn=(a-
)(-1)n+n-
．
∵{xn}是等差数列，
∴a-
=0，即a=
．
此时，xn=n-
．
名校课堂系列答案
(a,b∈Z)，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=3。
(a,b∈Z)，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=3。
（2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域.