Question

如图，已知：射线OA为y=kx(k＞0，x＞0)，射线OB为y=-kx(x＞0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为k。
（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；
（2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域。

Answer 1

解：（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a＞0，b＞0)，
则|OM|=a，|ON|=b，
由动点P在∠AOx的内部，得0＜y＜kx，
∴，
∴S_{四边形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM=（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k，
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k， ①
又由，分别解得a=，b=，
代入①式消a、b，并化简得x²-y²=k²+1，
∵y＞0，
∴y=。
（2）由0＜y＜kx，得 0＜＜kx，
 (*)
当k=1时，不等式②为0＜2恒成立，∴(*)x>；
当0＜k＜1时，由不等式②得，x＜，
∴(*)；
当k＞1时，由不等式②得，且＜0，
∴(*)，
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，
所以还必须满足条件：y＜x，
将它代入函数解析式，得，
解得：(k＞1)，或x∈k（0＜k≤1）；
综上：当k=1时，定义域为{x|x＞}；
当0＜k＜1时，定义域为{x|}；
当k＞1时，定义域为{x|}。