Question

已知x∈R,求证：cosx≥1-.

Answer 1

思路分析：本题主要考查把不等式转化成判断函数的单调性，在解此题时，可以先构造一个函数，然后利用导数判断函数的单调性.

证明：令f(x)=cosx-1+,则f′(x)=x-sinx.

当x＞0时,由单位圆中的正弦线知必有x＞sinx,

∴f′(x)＞0,

即f(x)在(0,+∞)上是增函数.

又∵f(0)=0,且f(x)连续,

∴f(x)在区间［0,+∞］内的最小值 f(0)=0,

即f(x)≥0,得cosx-1+≥0,

即cosx≥1.∵f(-x)=cos(-x)-1+=f(x),

∴f(x)为偶函数,

即当x∈(-∞,0)时,f(x)≥0仍成立.

∴对任意的x∈R,都有cosx≥1.