Question

36、已知x∈R，奇函数f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上单调．
（1）求字母a，b，c应满足的条件；
（2）设x₀≥1，f（x₀）≥1，且满足f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）因为函数是奇函数且函数在x=0处有意义所以f（0）=0求出c，由f（x）+f（-x）=0求出a，求出函数的导函数，由函数在[1，+∞）单调，得到f'（x）≥0恒成立或f'（x）≤0恒成立求出b的范围即可；
（2）利用反证法，先假设假设f（x₀）≠x₀，不妨设f（x₀）=a＞x₀≥1，根据f（x）在[1，+∞）上单调递增，
得到f[f（x₀）]=f（a）＞f（x₀）＞x₀，与已知矛盾，假设错误，原命题正确．

解答：解：（1）∵f（0）=0?c=0；f（x）+f（-x）=0?a=0．∵f'（x）=3x²-b，
若f（x）x∈[1，+∞）上是增函数，则f'（x）≥0恒成立，即b≤（3x²）_min=3
若f（x）x∈[1，+∞）上是减函数，则f'（x）≤0恒成立，这样的b不存在．
综上可得：a=c=0，b≤3．
（2）假设f（x₀）≠x₀，不妨设f（x₀）=a＞x₀≥1，
由（1）可知f（x）在[1，+∞）上单调递增，故f[f（x₀）]=f（a）＞f（x₀）＞x₀，
这与已知f[f（x₀）]=x₀矛盾，故原假设不成立，即有f（x₀）=x₀．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，以及会用反证法进行命题的证明．