Question

如图，已知的直径，点、为上两点，且，，为弧的中点．将沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．

（1）求证：；
（2）在弧上是否存在点，使得平面？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；
（3）求二面角的正弦值.

Answer 1

(1)证明过程详见解析（2）在弧上存在点,且点为弧的中点;（3）。

试题分析：（1）连结CO，则CO⊥AB，证明∠FOB=∠CAB，从而得出OF∥AC；（2）找出弧BD的中点G，证明OG∥AD，由（1）知，OF∥AC，先证明线面平行，在证明面面平行；（3）用三垂线法作出二面角C-AD—B的平面角，再通过解三角形，求出二面角平面角的余弦值，或建立空间直角坐标系，利用向量法证明平行和求二面角.
试题解析:（法一）：证明：（1）如右图，连接，
，，
又为弧的中点，，．
（2）取弧的中点，连接，
则，故，
由（1），知平面，故平面平面，
则平面，因此，在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点．
（3）过作于，连．
因为，平面平面，故平面．
又因为平面，故，所以平面，，
则是二面角的平面角，又，，故．
由平面，平面，得为直角三角形，
又，故，可得==，故二面角的正弦值为.
（法二）：证明：（1）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，

则，
，
点为弧的中点，点的坐标为，
，，即．
（2）设在弧上存在点，使得平面，
由（1），知平面，平面平面，则有．
设，，．又，
，解得(舍去)．，则为弧的中点．
因此，在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点．
（3），点的坐标，．
设二面角的大小为，为平面的一个法向量．
由有即
取，解得，．，取平面的一个法向量，
，故二面角的正弦值为.