Question

如图，在斜三棱柱中，O是AC的中点，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查线面垂直的证明、二面角、向量法等基础知识，同时考查空间想象能力、逻辑推理论证能力和计算能力.第一问，利用线面垂直的性质得，由已知，利用线面垂直的判定得平面，所以BC垂直面内的线，又由于四边形是菱形，所以，所以利用线面垂直的判定得平面；第二问，通过已知条件中的垂直关系建立空间直角坐标系，写出各个点坐标，利用向量法求出面与面的法向量，再利用夹角公式，求出二面角的余弦值.
试题解析： （1）因为平面，所以．
又，所以平面，所以．     2分
因为，所以四边形是菱形，所以．
所以平面，
所以．      5分
（2）以为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，－1，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，C₁(0，2，)．
，，
设是面的一个法向量，则，
即取．
同理面的一个法向量为．     10分
因为．
所以二面角的余弦值．     12分