题目内容
如图，椭圆C：| x2 |
| 36 |
| y2 |
| 20 |
（1）若M是AN的中点，求证：MA⊥MF．
（2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求|PQ|的范围．
分析：（1）欲证MA⊥MF，只需证明
，分别求出
，
的坐标，再用向量的数量积的坐标运算计算即可．
（2）欲求|PQ|的范围，需先将|PQ|用某个参数表示，再求最值，可先找到圆心坐标和半径，再利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，得到用参数表示的|PQ|，再用均值不等式求范围．
|
| MA |
| MF |
（2）欲求|PQ|的范围，需先将|PQ|用某个参数表示，再求最值，可先找到圆心坐标和半径，再利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，得到用参数表示的|PQ|，再用均值不等式求范围．
解答：解：（1）由题意得A（-6，0），F（4，0），xN=9∴xM=
又M点在椭圆上，且在x轴上方，得yM=
（2）设N（9，t），其中t＞0，∵圆过A，F，N三点，
∴设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，有
解得 D=2，E=-t-
，F=-24
∴圆心为(-1，
(t+
))，半径r=
∴|PQ|=2
=2
，
∵t＞0∴t+
≥2
=10
，当且仅当t=
，即t=5
时取“=”
∴|PQ|≥2
=6
，∴|PQ|的取值范围是[6
，+∞)
| 3 |
| 2 |
又M点在椭圆上，且在x轴上方，得yM=
5
| ||
| 2 |
|
（2）设N（9，t），其中t＞0，∵圆过A，F，N三点，
∴设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，有
|
解得 D=2，E=-t-
| 75 |
| t |
∴圆心为(-1，
| 1 |
| 2 |
| 75 |
| t |
25+
|
∴|PQ|=2
| r2-1 |
24+
|
∵t＞0∴t+
| 75 |
| t |
t•
|
| 3 |
| 75 |
| t |
| 3 |
∴|PQ|≥2
| 99 |
| 11 |
| 11 |
点评：本题考查了椭圆与圆之间的关系，其中圆中弦长的求法必须掌握．
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