Question

已知函数.  

（I）当时，求曲线在点处的切线方程；

（II）求的单调区间；

（III）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（I）因为，,

所以,                  ------------------------------1分

，,                           ------------------------------3分

所以切线方程为.                          ------------------------------4分

(II）,   ----------------------------5分

由得,                        ------------------------------6分

当时，在或时，在时,

所以的单调增区间是和，单调减区间是；  ---------------7分

当时，在时，所以的单调增区间是；-----8分

当时，在或时，在时.

所以的单调增区间是和，单调减区间是.   ---------------10分

(III）由（II）可知在区间上只可能有极小值点，

所以在区间上的最大值在区间的端点处取到， -------------------------12分

即有且,

解得.