题目内容

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象在y轴右边的第一个最高点、最低点的坐标分别是（2，2 $数学公式$ ）和（10，-2 $数学公式$ ）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）指出函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到的．

解：（1）因为函数图象在y轴右边的第一个最高点、最低点的坐标分别是（2，2 $\text{[math]}$ ）和（10，-2 $\text{[math]}$ ），
所以A=2 $\text{[math]}$ ，并且周期T=2（10-2）=16，
所以根据周期公式T= $\text{[math]}$ 可得ω= $\text{[math]}$ ，
所以y=2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+φ）．
因为函数的一个最高点是（2，2 $\text{[math]}$ ），并且0＜φ＜π，
所以φ= $\text{[math]}$ ．
所以函数f（x）解析式为 $\text{[math]}$ ．
（2）将函数y=sinx的图象先向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数y=sin（x+ $\text{[math]}$ ）的图象，再将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ 倍（纵坐标不变），最后将所得函数的图象纵坐标伸长为原来的 $\text{[math]}$ 倍，则所得到的函数图象对应的函数解析式为：y=2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由题意可得：A=2 $\text{[math]}$ ，并且周期T=16，再根据周期公式可得ω= $\text{[math]}$ ，又函数的一个最高点是（2，2 $\text{[math]}$ ），并且0＜φ＜π，可得φ= $\text{[math]}$ ，进而得到函数的解析式．
（2）将函数y=sinx的图象先向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ 倍，最后将纵坐标伸长为原来的 $\text{[math]}$ 倍，则可得答案．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象平移变换，在进行平移变换时要注意是先变换ω还是先变换φ，先变换ω与先变换φ的过程是不同的，此题考查学生的逻辑思维能力与推理论证能力，此题是中档题．