Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，S₅-S₂=27，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_n，2

2

（a_n+1+1），S_n+2成等比数列，求正整数n的值．

Answer 1

分析：（1）设出等差数列{a_n}的公差，由a₁=3，S₅-S₂=27联立求得公差，则通项公式可求；
（2）求出等差数列的前n项和，由S_n，2

2

（a_n+1+1），S_n+2成等比数列得到Sn•Sn+2=8(an+1+1)2，
代入前n项和及通项后化为关于n的一元二次方程，求解方程得n的值．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则S₅-S₂=3a₁+9d=27，
又a₁=3，则d=2，故a_n=2n+1；
（2）由（1）可得Sn=3n+

2n(n-1)

2

=n2+2n，
由S_n，2

2

（a_n+1+1），S_n+2成等比数列，
∴Sn•Sn+2=8(an+1+1)2，
即n（n+2）²（n+4）=8（2n+4）²，化简得n²+4n-32=0，
解得n=4或n=-8（舍），
∴n的值为4．

点评：本题主要考查了等比数列的性质，关键是要熟练记忆等差数列的通项公式和求和公式，是中档题．