Question

已知A是抛物线y²=4x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B（点B在x轴上方），若|AB|=2|AF|，则点A的坐标为

 

．

Answer 1

分析：设B（-1，t），A（m，n），则根据|AB|=2|AF|（点B在x轴上方），可得

BA

=2

AF

（n＞0）或

BF

=

FA

（n＜0），分类讨论，即可求得点A的坐标．

解答：解：设B（-1，t），A（m，n），则
∵抛物线y²=4x，
∴F（1，0），
∵|AB|=2|AF|（点B在x轴上方），
∴

BA

=2

AF

（n＞0）或

BF

=

FA

（n＜0），

BA

=2

AF

（n＞0）时，（m+1，n-t）=2（1-m，-n），
∴

m+1=2-2m n-t=-2n

，
∴m=

1

3

，代入y²=4x可得n=

2 3

3

；

BF

=

FA

（n＜0）时，（m+1，n-t）=2（m-1，n），
∴m=3，代入y²=4x可得n=-2

3

．
∴点A的坐标为(3，  -2

3

)或（

1

3

，

2 3

3

）．
故答案为：(3，  -2

3

)或（

1

3

，

2 3

3

）．

点评：本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．