Question

（2013•乐山一模）已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且满足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），则

2a2+b2-6b+9

ab-3a

的取值范围是

[2

2

，

11

3

)

．

Answer 1

分析：求导数，利用导函数f′（x）=x²+ax+b的图象开口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答：解：∵函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，
∴x₁，x₂是导函数f′（x）=x²+ax+b的两根
由于导函数f′（x）=x²+ax+b的图象开口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴

b＞0 1+a+b＜0 4+2a+b＞0

满足条件的约束条件的可行域如图所示：
令Z=

b-3

a

，则其几何意义是区域内的点与（0，3）连线的斜率，
∴由

1+a+b=0 4+2a+b=0

，可得a=-3，b=2
∴

b-3

a

∈（

1

3

，3）
∵

2a2+b2-6b+9

ab-3a

=

b-3

a

+2•

1

b-3 a

，
∴

b-3

a

=

2

时，

2a2+b2-6b+9

ab-3a

的最小值为2

2

，

b-3

a

=3时，

2a2+b2-6b+9

ab-3a

=

11

3

∴

2a2+b2-6b+9

ab-3a

的取值范围是[2

2

，

11

3

)，
故答案为：[2

2

，

11

3

)

点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力，解题时要认真审题，仔细解答．