Question

【题目】已知函数， （）

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：当时，函数（）有最小值.记的最小值为，求的值域；

（Ⅲ）若存在两个不同的零点， （），求的取值范围，并比较与0的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在， 单调递增; （Ⅱ）; （Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)首先求得函数的定义域，然后结合导函数的解析式可得在， 单调递增；

(Ⅱ)结合(1)的结论可得.结合新函数的性质有值域为

(Ⅲ)结合导函数的性质，可得实数a的取值范围为，构造新函数即可证得题中的结论

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为.

，

当且仅当时， ，所以在， 单调递增，

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知， 单调递增，

对任意， ，

因此，存在唯一，使得.

当时， ， 递减，当时， ， 递增.

所以有最小值.

而，所以在上递增.

所以，即的值域为

（Ⅲ）定义域为，

当时， 在上递增，舍.

当时， 在上递增，在上递减，

， ， ， ，

所以， .

设，

所以在上递增， ，即

所以，

又，所以， 且在上递减

所以，即， .

所以